教学反思 张晶

以上学生们用两种常见方法解决了一元二次不等式恒成立的问题。于是我引导学生将这类问题进行了总结，恒成立问题可以用以下方法解决（1）直接转化为函数的最值；（2）分离变量再转化为求函数最值。

接着乘热打铁我又让学生练习 (1-a)x²-4x+6>0在{x|-3

变:不等式(1-a)x²-4x+6>0在{a|-3

解题时，我提醒学生注意两题的不同，并引导学生思考能否从刚刚两个解题方向入手。学生就有了如下两解：（1）看成关于a的一次函数g（a）=- x²a+ x² -4x+6,只需满足g(-1)  g(3) 即可，(2)分离变量转化为关于a的函数的最值。得x²-4x+6>a x²，x=0时 6>0成立，x 时，a<1- 即求H（x）=1- 大于等于a的最大值，即1-  解得              ，综上得x ，发现方法一比方法二简单。于是同学们自己总结了如下规律：函数中恒成立的问题，能转化为一次函数最值就用一次函数的最值解决（知道谁的范围就取谁为自变量），如不能,就用分离变量的方法，比较简单。(我们平时学遇到的绝大部分情况都是不可以转化为一次函数的所以分离变量方法是我们常用到的)

上面我们只是讲的一般做法，有时候我们如果遇到下面的题目。例2.当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。例3.若函数f（x）=3x²+2ax+b对于[-1，1]都有f（x） 求 的范围(09泰州模拟改动),这类问题既不是关于x的一次函数，有不好分离变量，就只能数形结合，用关于x的二次函数的最值来解决了

    例2解答：令 ， 则对称轴 ，

（1）   即 时， ， 恒成立。

满足条件

由二次函数的图象可知： 

例3.解答：函数的最大值只可能在x=-1或1处取到，因此

，得（-

第二类是可以转化为恒成立的问题.(题目中未出现“恒成立“但可以转化为恒成立问题轻松解决)

(1)根据性质转化

例4已知函数f（x ）= 在（2，+ ）上为增函数，求k的取值范围。

我们可以通过求导，f^/（x）=x²-（k+1）x=x[x-（k+1）]求出函数的增区间，然后利用集合的包含关系去求，求增区间的时候，必须对两根进行讨论。本题还可以用恒成立的角度来研究，即转化为x ，f^/（x） ^，即x²-（k+1）x 在（2，+ ）上恒成立。那么我们就可以从二次函数或者从分离x，k的角度利用恒成立的知识来解决。明显后者更便于解题。

讲评此题时不失时机的引导学生总结：一般情况下函数y=f（x）在某区间上单调递增就转化为函数y= f^/（x）在该区间上大于等于0恒成立，

变1.函数y=f（x）在某区间上单调递减，求a的范围

变2.函数y=f（x）在某区间上单调，求a的范围

变3.函数y=f（x）在某区间上不单调，求a的范围

依次就转化为函数y= f^/（x）在该区间上小于等于0恒成立，

 函数y=f(x)在该区上大于等于0恒成立,或小于等于0恒成立

  y=f(x)在该区间上有零点

例5.已知函数f(x)=-x³+3x,g(x)= ,若函数y=g(x)的图象在直线y=x+m的下方,求m的取值范围？（无锡市2009—2010学年度普通高中高三质量调研改动）

转化为g(x)-x-m<0恒成立,分离m,x得m>-x²+3+3lnx-x恒成立即可转化

(2)根据命题的否定转化

  例6.设t为实数，函数f(x)= ， 的图象在点 处的切线的斜率为1.若对于任意 ，总存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.(江苏省常州市2009～2010学年度第一学期期末联考改动）

一种做法: 对于任意的x ,总存在t使得不等式f(x) 2t,也使得t ,在x 时成立,令g(x)= ,当x=0时, =0,当x<0时, <0,,当x>0, >0, g(x)的最小值只能在x 时取得,此时g(x)= =- =- 当且仅当-2x=- 即x=- 时取等号,函数y= 的最小值- ,则实数t [- ,+ .这种做法转化为t 解决,学生理解有一定的困难.

  而如果利用命题的否定来做的话:转化为 对于任意的x ,任意的t使得不等式f(x)> 2t,即t ,恒成立,令h(x)= 转化为tmin,,用上法,或求导可以求出函数的最小值- ,则t<- ,因为求的是命题的否定是正确的,最后取补集,得实数t [- ,+ .

很明显学生利用第二个方法解题好思考,也好运算,但是要注意最后是取的是补集。

通过上述恒成立问题的解析和思考，笔者有两个体会。首先，教师要精心备课，实施有效教学。要在恒成立问题教学中做到“深入浅出”，“深入”是“浅出”的前提，教师把这类问题钻得越深，悟出来的道理就越透彻，这样课上起来就越简单、越得心应手，也能够讲在点子上。其次，教学要讲究方法，调动学生积极性。教学中，要尊重学生、相信学生、赏识学生的能力，使认知过程成为一个再创造的过程，使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中，实现发现、理解、创造与应用。如在恒成立问题教学中，需要引导学生自己去挖掘和发现规律。通过恒成立问题的一题多变，可以让学生掌握题目的本质；尝试一题多解，可以锻炼学生的思维，又可以使学生比较方法优劣；强化多题一解（小结一类题目的做法），可以使学生在掌握规律后，通晓一类题目，达到事半功倍的效果。